欧拉方程

欧拉方程

形式：$x^n y^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\dots+p_{n-1}xy^{\prime}+p_ny=f(x)$ 的方程（其中 $p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n$ 为常数）。

求解思路——换元

令 $x = e^t$ , $t =lnx$ ,代入欧拉方程，可得到一个常系数齐次/非齐次线性微分方程。（$x^k y^{(k)} = D(D-1) \dots (D-k+1)y$）

$\mathcal Solution$

1. 换元：令 $x=e^t,t=ln x,D=\frac{d}{dt},x^k y^{(k)} = D(D-1) \dots (D-k+1)y$
2. 转化：写出常系数线性微分方程
3. 写出特征方程，求出特征根，得到齐次方程的通解
4. 根据自由项类型，求出非齐次方程的特解
5. 得到非齐次方程的通解
6. 令 $t=lnx$ ，得到欧拉方程的通解