高阶线性微分方程

高阶线性微分方程

定理1：若 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 是二阶齐次线性方程 $y^{\prime\prime}+P(x)y^\prime+Q(x)y=0$ 的两个 线性无关 的特解，则 $y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$ 为此齐次线性方程的通解。其中，线性无关指两函数相比的比值不为常数。

定理2：非齐次特解 $=$ 齐次通解 $+$ 非齐次特解

验证 $y=Y+y^*=C_1y_1+C_2y_2+y^*$ 为 $y^{\prime\prime}+P(x)y^\prime+Q(x)y=f(x)$ 的通解

1. 将 $y_1,\ y_2$ 代入 $y^{\prime\prime}+P(x)y^\prime+Q(x)y=0$ 中，验证二者是否均为齐次方程的通解
2. 验证 $y_1,\ y_2$ 是线性无关
3. 验证 $y^*$ 是原方程的特解