常系数非齐次线性微分方程

常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数线性非齐次微分方程

形式： $y^{\prime \prime} + p(x) y^{\prime} +q(x) y=f(x)$

通解结构：非齐次通解 $=$ 齐次通解 $+$ 非齐次特解

一 、$f(x)=e^{\lambda x}P_m{(x)}$ 型

$\lambda$ 为实数，$P_m(x)$ 为 $m$ 次多项式

设特解为 $y^*=e^{\lambda x}Q(x)$ , 其中 $Q(x)$ 为待定多项式

$$y^{*\prime}=e^{\lambda x}[\lambda Q(x)+Q^\prime(x)]\\ y^{*\prime\prime}=e^{\lambda x}[\lambda^2 Q(x)+2\lambda Q^\prime(x)+Q^{\prime\prime}(x)]\\ Q^{\prime\prime}(x)+(2\lambda+p)Q^{\prime}(x)+(\lambda^2+p\lambda+q)Q(x)=P_m(x)$$

• 若 $\lambda$ 不是特征方程的根( $k = 0$ )，则 $y^*=Q_m(x)e^{\lambda x}$
• 若 $\lambda$ 是特征方程的单根( $k=1$ )，即 $\lambda^2+p\lambda+q=0,\ 2\lambda+p\neq0$ , 则 $y^*=xQ_m(x)e^{\lambda x}$
• 若 $\lambda$ 是特征方程的重根( $k=2$ )，即 $\lambda^2+p\lambda+q=0,\ 2\lambda+p=0$ , 则 $y^*=x^2Q_m(x)e^{\lambda x}$

综上， $y^*=x^kR_m(x)e^{\lambda x}$

求特解 $\mathcal Solution:$

1. 写出非齐次方程对应的齐次方程 $y^{\prime \prime} + p(x) y^{\prime} +q(x) y=0$
2. 写出该齐次线性方程的特征方程 $r^2+p^r+q=0$
3. 根据 $f(x)$ 判断所属类型，写出 $\lambda , P_m(x), m$ 的值
4. 令 $R_m(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots b_{m-1}x+b_m$
5. • 若 $\lambda$ 不是特征方程的根， $k=0$
   • 若 $\lambda$ 是特征方程的单根， $k=1$
   • 若 $\lambda$ 是特征方程的重根， $k=2$
6. 非齐次方程的特解为 $y^*=x^kR(m)e^{\lambda x}$

求通解 $\mathcal Solution:$

1. 写出非齐次方程对应的齐次方程 $y^{\prime \prime} + p(x) y^{\prime} +q(x) y=0$
2. 写出该齐次线性方程的特征方程 $r^2+p^r+q=0$
3. 求出齐次方程的通解 $Y$
4. 根据 $f(x)$ 判断所属类型，写出 $\lambda , P_m(x), m$ 的值
5. 令 $R_m(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots b_{m-1}x+b_m$
6. • 若 $\lambda$ 不是特征方程的根， $k=0$
   • 若 $\lambda$ 是特征方程的单根， $k=1$
   • 若 $\lambda$ 是特征方程的重根， $k=2$
7. 非齐次方程的通解为 $y=Y+y^*=Y+x^kR(m)e^{\lambda x}$

二、 $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos{\omega x}+P_n{sin{\omega x}}]$ 型

求特解 $\mathcal Solution:$

1. 写出非齐次方程对应的齐次方程 $y^{\prime \prime} + p(x) y^{\prime} +q(x) y=0$
2. 写出该齐次线性方程的特征方程 $r^2+p^r+q=0$
3. 根据 $f(x)$ 判断所属类型，写出 $\lambda , \omega, P_l(x), P_n(x)$ 的值
4. • 若 $\lambda + \omega i$ 不是特征方程的根， $k=0$
   • 若 $\lambda + \omega i$ 是特征方程的单根， $k=1$
5. 令 $R_m(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots b_{m-1}x+b_m,\ m=max\{l,\ n\}$
6. 非齐次方程的特解为 $y^*=x^k e^{\lambda x}(R_m^{(1)}cos{\omega x}+R_m^{(2)}sin{\omega x})$
7. 将特解代入非齐次方程，求出 $b_0,b_1,\dots,b_{2*(m+1)}$

求通解 $\mathcal Solution:$

1. 写出非齐次方程对应的齐次方程 $y^{\prime \prime} + p(x) y^{\prime} +q(x) y=0$
2. 写出该齐次线性方程的特征方程 $r^2+p^r+q=0$
3. 求出齐次方程的通解 $Y$
4. 根据 $f(x)$ 判断所属类型，写出 $\lambda , \omega, P_l(x), P_n(x)$ 的值
5. • 若 $\lambda + \omega i$ 不是特征方程的根， $k=0$
   • 若 $\lambda + \omega i$ 是特征方程的单根， $k=1$
6. 令 $R_m(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots b_{m-1}x+b_m,\ m=max\{l,\ n\}$
7. 非齐次方程的特解为 $y^*=x^k e^{\lambda x}(R_m^{(1)}cos{\omega x}+R_m^{(2)}sin{\omega x})$
8. 将特解代入非齐次方程，求出 $b_0,b_1,\dots,b_{2*(m+1)}$
9. 代入