常系数齐次线性微分方程

常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程

形式：$y^{\prime \prime} + p(x) y^{\prime} +q(x) y=0$

特征

1. 含有二阶导数且最高阶数为二阶
2. 方程中关于 $y$ 及其导数的次数是相等的，且无自由项
3. 方程中 $y\prime$， $y$ 的系数均为常数，即没有 $x$

求解基本思路——求特征方程的根

$$y^{\prime \prime} + p(x) y^{\prime} +q(x) y=0\qquad y = e^{r x}\\ r^2 e^{r x}+p r\cdot e^{r x}+q\cdot e^{r x}=0\\ e^{r x}(r^2+p r+q)=0\quad(e^{rx}>0)\\ r^2+pr+q=0$$

因此，只需求解方程 $r^2+p r + q = 0$ 的解。

总结以上步骤，得出微分方程解法：

1. 将 $y$ 换成 $r$

2. 将阶数换成次数，其中 $0$ 阶导数即为 $0$ 次（常数）

3. 方程由 $y\prime \prime + p y\prime +q y=0$ 转化为 $r^2+p r + q = 0$ （特征方程）

4. 判断 $\delta = p^2-4q$ 正负

   • 若 $\delta > 0$ , 则存在一对特征根 $r_1,\ r_2$ , 进而可写出微分方程的解 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$

   • 若 $\delta = 0$ , 则存在特征根 $r_1$ , 进而可写出微分方程的解 $y = (C_1 + C_2x) e^{r_1 x}$

   • 若 $\delta < 0$ , 则存在一对共轭负根 $r_1=\alpha + \beta i\ , r_2 = \alpha - \beta i$ , 进而可写出微分方程的解 $y = e^{\alpha x}(C_1cos{\beta x}+C_2sin{\beta x})$

5. 若有初值，代入求出常数 $C_1, C_2$

高阶求法

单实数 $Ce^{rx}$

一对复根 $r_{1,2}=\alpha x\pm\beta i$ $e^{\alpha x}(C_1cos{\beta x}+C_2sin{\beta x})$

$k$ 重实根 $e^{r x}(C_1+C_2x+\dots+C_k x^{k-1})$

一对 $k$ 重复根 $e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+\dots+C_k x_{k-1})cos{\beta x}+(D_1+D_2x+\dots+D_k x_{k-1})sin{\beta x}]$