可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程

1. $y^{(n)}=f(x)$ 型

 $Solution$

 $Step\ 1$	将方程连续积分 $n$ 次

 $Step\ 2$	得到的方程的解含有 $n$ 个常数 $C$

2. $y^{\prime\prime}=f(x,y^\prime)$ 型

 $Solution$

 $Step\ 1$	换元 令 $y^\prime=p,\ y^{\prime\prime}=\frac{d p}{dx}$

 $Step\ 2$	求解微分方程 $\frac{d p}{dx} = f(x, p)$

 $Step\ 3$	代入得到 $y^\prime=p$ 的通解

 $Step\ 4$	对 $y^\prime=p$ 两边求积分得到原方程通解

3. $y^{\prime\prime}=f(y,y^\prime)$ 型

 $Solution$

 $Step\ 1$	换元 令 $y^\prime=p,\ y^{\prime\prime}=p \frac{d p}{dy}$ 

 $Step\ 2$	求解微分方程 $p\frac{d p}{d y} = f(y, p)$

 $Step\ 3$	代入得到 $y^\prime=p$ 的通解

 $Step\ 4$	对 $y^\prime=p$ 两边求积分得到原方程通解