一阶线性微分方程

一阶线性微分方程

形如 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 的方程

• 当 $Q(x) = 0$ 齐次方程
• 当 $Q(x) \neq 0$ 非齐次方程

判别方式：因变量所在的每一项及因变量的导数的次数都是 $1$

$\mathcal Solution$ :

对于齐次线性微分方程：

1. 推导法

$$\frac{d y}{d x}+P(x) y = 0\\ \int\frac{d y}{y}=-\int P(x) dx\\ ln|y|=-\int P(x)dx+lnC\\ y=Ce^{-\int P(x)dx}$$

2. 公式法： $y=Ce^{-\int P(x)dx}$

对于非齐次线性微分方程： $y=e^{-\int P(x)dx}[\int {Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C}]$