微分方程基本概念

微分方程基本概念

微分方程：含有未知函数及其导数的方程

方程的阶：方程中导数的最高阶数

方程通解：解中所含独立任意常数个数与方程阶数相同

方程特解：不含任意常数的解，其图形成为积分曲线

微分方程解的三种形式：

• 显示解：$y=f(x)$ 或 $x=g(y)$
• 隐式解：由方程 $F(x,\ y)=0$ 确定的函数关系
• 参数方程解：有参数方程 \begin{equation}\left\{\begin{aligned}x=x(t)\\y=y(t)\end{aligned}\right.\end{equation} 确定的函数关系

题型一：验证所给函数是否为所给微分方程的解

$\mathcal Solution$ :

1. 根据微分方程的阶，求出对应的导数
2. 将导数带入微分方程，验证等号左右是否相等

题型二：求初值问题的解

$\mathcal Solution$ :

1. 根据初值求出常数 $C$
2. 将 $C$ 代入微分方程的解

题型三：由微分方程通解求微分方程

$\mathcal Solution$ :

1. 求导
2. 求 $C$，若求导时发现等价关系可将 $C$ 消去，则不需求 $C$
3. 将 $C$ 代入通解

题型四：化积分方程为微分方程

$\mathcal Solution$ :

1. 求导后找出等价关系