能量项链

能量项链 （链2)

题目描述

在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 $N$ 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 $m$，尾标记为 $r$，后一颗能量珠的头标记为 $r$，尾标记为 $n$，则聚合后释放的能量为 $m \times r \times n$（Mars 单位），新产生的珠子的头标记为 $m$，尾标记为 $n$。

需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设 $N=4$，$4$ 颗珠子的头标记与尾标记依次为 $(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)$。我们用记号 $\oplus$ 表示两颗珠子的聚合操作，$(j \oplus k)$ 表示第 $j,k$ 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 $4$，$1$ 两颗珠子聚合后释放的能量为：

$(4 \oplus 1)=10 \times 2 \times 3=60$。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

$(((4 \oplus 1) \oplus 2) \oplus 3)=10 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=710$。

输入格式

第一行是一个正整数 $N$（$4 \le N \le 100$），表示项链上珠子的个数。第二行是 $N$ 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 $1000$。第 $i$ 个数为第 $i$ 颗珠子的头标记（$1 \le i \le N$），当 $i<N$ 时，第 $i$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $i+1$ 颗珠子的头标记。第 $N$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $1$ 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

一个正整数 $E$（$E\le 2.1 \times 10^9$），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例输入

4
2 3 5 10

样例输出

710

提示

NOIP 2006 提高组 第一题

思路

其实本题的思路与 环形石子合并 基本相同，都是 化曲为直。

对于题目的新定义，其实质是矩阵乘法。

矩阵乘法：

设矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 和 $B=(b_{ij})_{n\times s}$ , 令 $C=(c_{ij})_{m\times s}$ 。

其中 $c_{ij}=\sum_{k=1}^n{a_{ik}b_{kj}}(1\leq i\leq m,\ 1\leq j\leq s)$ , 那么矩阵 $C$ 称为矩阵 $A$ 与 $B$ 的乘积，记为 $C=AB$ 或 $C=AB$ 。

为方便，称被乘数 $A$ 为左矩阵，乘数 $B$ 为右矩阵。

注意事项：

· 只有左矩阵的列数与右矩阵的行数相同的两个矩阵才能相乘。

· 乘积矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列处的元素等于左矩阵的第 $i$ 行与右矩阵的第 $j$ 列对应元素乘积之和，即 $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n{a_{ik}b_{kj}}$。

· 乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。

定义 $dp_{i\ j}$ 为将区间 $[i,\ j]$ 的能量珠聚合的最大能量。

则可将 $[i,\ j]$ 区间通过一个分割点 $k$ 分为两个部分，问题转化为先合并分割点两端的小区间内的能量珠，进而将两个大的能量珠聚合。

因此，可以通过枚举 $k\ (k \in [i,\ j))$。

状态转移方程：

$dp_{i\ j} = \mathop{max}\limits_{k\in[i,\ j-1]}\{dp_{i\ k} + dp_{k+1\ j} + head_{v_l}\times tail _{v_k}\times tail_{v_r}\}$

void solve()
{
    int n;  cin >> n;
    vector<int> a(n + 1);
    vector<pair<int, int>> v(2 * n + 1);
    for (int i=1;i<=n;i++)    cin >> a[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
        v[i] = v[i + n] = {a[i], a[i % n + 1]};

    vector<vector<int>> dp(2 * n + 1, vector<int>(2 * n + 1));
    auto work = [&](auto self, int l, int r) -> int
    {
        if (r - l + 1 == 1) return 0;
        if (dp[l][r])   return dp[l][r];

        for (int i=l;i<r;i++)
            dp[l][r] = max(dp[l][r], self(self, l, i) + self(self, i + 1, r) + v[l].first * v[i].second * v[r].second);
        return dp[l][r];
    };

    int ans = 0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        ans = max(ans, work(work, i, i + n - 1));
    cout << ans;
}